Dezibel sind ein oft besprochenes Thema am Funkstammtisch oder im Amateurfunkclub. Während es häufig bei der Frage: “Spannungs, Leistungs oder Gain dB” zu hitzigen Debatten kommt, möchte ich hier einmal einen anderen Aspekt beleuchten. Wer kann so “auf die Schnelle” (ohne Taschenrechner versteht sich) sagen welchem Faktor 2dB entsprechen? Da auch ich kürzlich bei einem Ad-Hoc Referat ins Schwitzen gekommen bin weil ich nicht 2dB gleich 3dB sein lassen wollte, habe ich beschlossen mir die Sache einmal näher anzusehen.
Ich bin sicher, dass ich hier nichts Neues erzähle, habe mir aber zugegebenermaßen auch nicht sehr viel Mühe gemacht nach Quellen zu suchen. Höchstwahrscheinlich gab es in der Zeit vor dem Taschenrechner auch andere Methoden als den Rechenschieber um dB Werte “mal auf die Schnelle” in Faktoren umzurechnen. Ein Indiz für mich ist, dass ich gelernt hatte: 10dB und 3dB sind genug.
Wie wir Funkamateure und Funkamateurinnen wissen entsprechen 10dB dem Faktor 10 exakt und 3dB dem Faktor 2 ungefähr (mit einem sehr kleinen Fehler von nur ca. 0.2%). Wir stellen uns nun die Aufgabe für alle ganzen Dezibelwerte von 10 bis -10 die entsprechenden Faktoren zu ermitteln, wobei wir möglichst mit Kopfrechnungen auskommen wollen.
Wir fangen mit den leichten Werten an:
10dB :: 10
9dB = 3dB + 3dB + 3dB :: 2 * 2 * 2 = 8
6dB = 3dB + 3dB :: 2 * 2 = 4
3dB :: 2
0dB :: 1 .
Aber auch 7dB ist nicht allzu schwer:
7dB = 10dB - 3dB :: 10 / 2 = 5 .
Sehen wir uns an was fehlt: 1dB, 2dB, 4dB, 5dB, 8dB und die negativen Werte von -1dB bis -10dB. Bevor wir uns den 5 fehlenden positiven Werten zuwenden bemerken wir, dass, wenn wir die Werte für 1dB bis 9dB hätten, wir die Faktoren für die negativen -9dB bis -1dB leicht ermitteln könnten. -9dB ist nämlich die Differenz 1dB - 10dB, -8dB = 2dB - 10dB und so weiter. Da der Abzug von 10dB aber für den Faktor nur eine Verschiebung des Kommapunktes um eine Stelle nach links bedeutet, ist diese Rechnung auch leicht im Kopf durchzuführen.
Wenden wir uns nun den fehlenden positiven Werten zu:
Wir verfolgen die Idee die wir für 7dB angewendet haben weiter und erhalten
4dB = 10dB - 3dB - 3dB :: 10 / ( 2 * 2 ) = 2.5
1dB = 10dB - 3dB - 3dB - 3dB :: 10 / ( 2 * 2 * 2 ) = 1.25 .
Es verbleiben die scheinbar hartnäckigen Fälle: 2dB, 5dB und 8dB. Eine Lösung die mir zu Beginn vorschwebte, die ich aber bald verworfen habe ist der Einsicht geschuldet, dass 10dB = 5dB + 5dB ist. 5dB muss demnach der Wurzel aus 10dB entsprechen. Da wir aber am Zahlenwert interessiert sind, den ich nicht ohne Taschenrechner im Kopf ermitteln kann, und nicht das Symbol √10 in unserem Ergebniss stehen lassen wollen geht die Suche weiter.
Gut, 2dB wäre als Summe von 1dB + 1dB darstellbar. Was bedeutet das für die Kopfrechnung?
2dB = 2 * 10dB - 6 * 3dB :: 100 / ( 2 ^ 6 ) = 100 / 64 = 25 / 16 .
Wir könnten nun noch in eine Summe von Partialbrüchen weiter zerlegen
25/16 = (5/4) * (5/4) = (1 + 1/4) * (1 + 1/4) = 1 + 1/2 + 1/16 = 1.5625 .
Ich weiß nicht wie es um eure Kopfrechenkünste bestellt ist, meine sind offenbar durch steten Gebrauch des Taschenrechners etwas eingerostet und ehrlich gesagt ich glaube die meisten von uns werden vor der Konversion von 1/16 in die Dezimalzahl 0.0625 erst einmal tief Luft holen. Wenns geht, ich hätte bitte gerne etwas Einfacheres!
Und ja, es geht glücklicherweise und das sogar genauer:
2dB = 3dB + 3dB + 3dB + 3dB - 10dB :: ( 2 ^ 4 ) / 10 = 16 / 10 = 1.6 .
Zuviel versprochen? Die beiden fehlenden 5dB und 8dB sind nun auch leicht:
5dB = 2dB + 3dB = 5 * 3dB - 10dB :: ( 2 ^ 5 ) / 10 = 32 / 10 = 3.2
8dB = 5dB + 3dB = 6 * 3dB - 10dB :: ( 2 ^ 6 ) / 10 = 64 / 10 = 6.4 .
Ok, ich gebe zu ich habe ein wenig geschummelt. Die Zweierpotenzen 2⁰ bis 2⁸ sind wohl nur für EDV affine Menschen wirklich leicht. Hat man aber einmal herausgefunden wie man sie durch Verdopplungen erhält so kann man einsehen, dass man kein Informatik Studium absolviert haben muss um zum Kreis der Wissenden zu gehören.
Probieren wir unsere neu erworbenen Erkenntnisse gleich mal aus: Wie ist der Faktor der zu -2dB gehört?
-2dB = 8dB - 10dB = 18dB - 20dB :: ( 2 ^ 6 ) / 100 = 64 / 100 = 0.64 .
Hat doch gar nicht weh getan, oder?
Der Schlüsselmerksatz lautet: 2dB = 12dB - 10dB
Zu Wirkungen und möglichen unerwünschten Nebenwirkungen fragen sie ihren Nachrichtentechniker oder Fernmeldemonteur! Ja natürlich gibt es auch unerwünschte Nebenwirkungen schließlich ist der Faktor 2 ja nicht exakt. Aber wie eine Betrachtung zeigt weist keiner der auf die gezeigte Art ermittelten Faktoren einen Fehler auf der größer als 1.5% ist (genauer 1.4%).
Ich füge zum Abschluss noch eine Zusammenfassung in tabellarischer Form an.
10dB: 10 = 10 Fehler: +0.0 %
9dB: 2^3 = 8 Fehler: +0.7 %
8dB: 2^6 / 10 = 6.4 Fehler: +1.4 %
7dB: 10 / 2 = 5 Fehler: -0.2 %
6dB: 2^2 = 4 Fehler: +0.5 %
5dB: 2^5 / 10 = 3.2 Fehler: +1.2 %
4dB: 10 / 2^2 = 2.5 Fehler: -0.5 %
3dB: 2 = 2 Fehler: +0.2 %
2dB: 2^4 / 10 = 1.6 Fehler: +1.0 %
1dB: 10 / 2^3 = 1.25 Fehler: -0.7 %
0dB: 0 = 1 Fehler: +0.0 %
-1dB: 2^3 / 10 = 0.8 Fehler: +0.7 %
-2dB: 2^6 / 100 = 0.64 Fehler: +1.4 %
-3dB: 1 / 2 = 0.5 Fehler: -0.2 %
-4dB: 2^2 / 10 = 0.4 Fehler: +0.5 %
-5dB: 2^5 / 100 = 0.32 Fehler: +1.2 %
-6dB: 1 / 2^2 = 0.25 Fehler: -0.5 %
-7dB: 2 / 10 = 0.2 Fehler: +0.2 %
-8dB: 2^4 / 100 = 0.16 Fehler: +1.0 %
-9dB: 1 / 2^3 = 0.125 Fehler: -0.7 %
-10dB: 1 / 10 = 0.1 Fehler: +0.0 %
Viel Spass am nächsten Clubabend bzw. Funkstammtisch!